domingo, 27 de mayo de 2012

3.5 Aplicaciones.

=Fracciones parciales =
Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo.

Ejemplo 4.1 Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:
SOLUCIÓN
Ejemplo: (Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:
SOLUCIÓN


= Determinación de curvas =
Un problema comun en diferentes ´areas es la determinaci´on de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos. 

Ejemplo: Determine la función cudrática que pasa por los puntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3). 

Solución
La forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c son constantes num´ericas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. 

Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.

Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4, 
es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4
es decir, se debe cumplir: a + b + c =4 

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación: a − b + c =2 y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3.
Resumiendo para que la función f (x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las ecuaciones: 
a + b + c = 4
a − b + c = 2
4a + 2b + c = 3
La solución a este sistema es: a = 2/3, b = 1, y c =11/3

La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una funci´on con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados.

=Balanceo de Reacciones Químicas=
Una aplicación sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones químicas. La
problemática consiste en determinar el número entero de moléculas que intervienen en una reacción química
cuidando siempre que el número de átomos de cada sustancia se preserve.

Ejemplo Balancee la reacción química: aCH4 + bO2=cCO2 + dH2O

Solución: Para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el numero de moléculas de las sustancias en la reacción debemos igualar el numero de átomos en cada miembro:
Por los átomos de carbono: a = c. Por los átomos de oxigeno: 2 b = 2 c + d. Por los átomos de hidrógeno: 4 a = 2 d

Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La f´ormula general para las soluciones queda:
a = 1/2 d
b = d
c = 1/2 d

El valor más pequeño de d que hace que los números de moléculas sean enteros positivos es d = 2: a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2

=Aplicaciones a Manufactura=
Ejemplo: Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: ca˜non, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo ca˜non necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la f´abrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cu´antas computadoras se pueden producir por mes?

Solución
En nuestro caso las incógnitas el n´umero de cada tipo de computadora a producir:
x = n´umero de computadoras cañón
y = n´umero de computadoras clon
z = n´umero de computadoras lenta-pero-segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas.

Ensamblado: 556(total) = 12 x(cañon) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)
Pruebas: 120(total) = 2.5 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)
Instalación de programas: 103(total) = 2 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)
Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18

Dado lo común de las aplicaciones hacia el área de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla:
  • En la ultima columna aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles.
  • En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto.

1 comentario:

  1. En la determinacion de curvas el ejercicio uno, me sale a=-2/3 cuando lo intento resolver

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