miércoles, 30 de mayo de 2012

4.1 Definición de espacio vectorial.

Sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vacio, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada par uϵV, kϵK un producto kuϵV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K (y los elementos de V se llaman vectores) si satisfacen los siguientes axiomas. 

[A1] para toda terna de vectores u, v, wϵV, (u+v)+w=u+(v+w).
[A2] existe un vector en V, denotado por 0 y denominado el vector cero, tal que u+0=u para todo vector uϵV.
[A3] para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por –u, tal que u+(-u)=0.
[A4] para todo par de vectores u, vϵV, u+v=v+u.
[M1] para todo escalar kϵK y todo par de vectores u, vϵV, k(u+v)=ku+kv.
[M2] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (a+b)u=au+bu.
[M3] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (ab)u=a(bu).
[M4] el escalar unidad 1ϵK cumple 1u=u para todo vector uϵV.

Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2+…+vm no requieren paréntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector cero, 0, es único, que el opuesto –u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wϵV.

U+w=v+w implica u=v. Asimismo, la resta se define según u-v=u+(-v).

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la <<acción>> del cuerpo K sobre V. observece que la rotulación de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.

Teorema: sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
  1. Para todo escalar kϵK y 0ϵV, k0-0.
  2. Para 0ϵK y todo vector uϵV, 0u=0.
  3. Si ku=0, donde kϵK y uϵV, entonces k=0 o u=0.
  4. Para todo kϵK y todo uϵV, (-k)u=-ku.

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